cosの微分を定義通りに計算してみよう

どうもこんばんは、Jrです。
少し久しぶりの数学関連の話題になります。

以前の記事で $\sin{x}$ の微分を定義に基づいて計算しました。今回は同じ三角関数の微分と言うことで、 $\cos{x}$ の微分を定義に基づいて計算してみようと思います。

なお、 $\sin{x}$ の微分に関する記事はこちらになります↓

$\cos{x}$ の微分に関しても、実際の計算では結果をそのまま公式的に使うことが基本で、定義に基づいて計算をする場面はあまりないと思います。
ですが微分の定義を理解するいい練習問題だと思うので、一度は自分で計算してみるのもいい経験になると思います。

では計算をしていきましょう。

問題：(cosx)’を定義に基づいて計算せよ
証明
おわりに

問題：(cosx)’を定義に基づいて計算せよ

次の微分を「定義に基づいて」計算する問題を考えます。

$\begin{align*}(\cos{x})'\end{align*}$

ここで、 $'$ は $x$ による微分を表すものとします。

なお、有名な事実(公式)として、 $\cos{x}$ の微分は

$\begin{align*}(\cos{x})' = -\sin{x}\end{align*}$

であり、これは覚えてしまった方がいいです。と、言うよりも、練習問題を繰り返している間に勝手に覚えてしまうと思います。

今回の問題では、定義に基づいて同じ結果を導いてみましょう。

証明

この証明においても本質的となるのは加法定理と $\sin{x}$ に関する微分、

(1) $\begin{align*}\lim_{x \to 0} \frac{\sin{x}}{x} = 1\end{align*}$

の二つです。

まず、微分の定義から、

(2) $\begin{align*}(\cos{x})'& = \lim_{h \to 0} \frac{\cos{(x + h)} - \cos{x}}{h} \nonumber \\&= \lim_{h \to 0} \frac{\cos{x} \cos{h} - \sin{x} \sin{h} -\cos{x}}{h} \\&= \cos{x} \lim_{h \to 0} \frac{\cos{h} - 1}{h} - \sin{x} \lim_{h \to 0} \frac{\sin{h}}{h} \nonumber \\&= \cos{x} \lim_{h \to 0} \frac{\cos{h} - 1}{h} - \sin{x}\end{align*}$

となります。ここで、2行目への変形で加法定理を、4行目への変形で(1)式を用いています。

さて、残っている項について、

(3) $\begin{align*}\frac{\cos{h} - 1}{h} &= \frac{(\cos{h} -1)(\cos{h} + 1)}{h (\cos{h} + 1)} \nonumber \\&= \frac{\cos^2{h} -1}{ h (\cos{h} +1)} \nonumber \\&= \frac{\sin^2{h}}{h (\cos{h} + 1)} \nonumber \\&= \frac{\sin{h}}{h} \cdot \frac{\sin{h}}{\cos{h} + 1} \nonumber \\& \to 1 \cdot \frac{0}{2} = 0~ (as~h \to 0 )\end{align*}$